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1 暴力递归到动态规划

==动态规划最核心的是暴力递归的尝试过程,一旦通过尝试写出来暴力递归的解法,那么动态规划在此基础上就很好改了==

1、暴力递归之所以暴力,是因为存在大量的重复计算。加入我们定义我们的缓存结构,用来查该状态有没有计算过,那么会加速我们的递归

2、在我们加入缓存结构之后,消除了大量的重复计算,缓存表就是我们的dp表。那么这种去除重复计算的递归,就是最粗糙的动态规划,也叫记忆化搜索

3、如果我们把我们的dp表,从简单到复杂列出来,那么就是经典的动态规划。我们无需考虑转移方程怎么写,而是根据我们的递归来推导。看下面例子:

1.1 例一 : 机器人运动问题(2018阿里面试题目)

认识暴力递归改动态规划的过程

假设有排成一行的N个位置,记为1~N,N一定大于等于2。开始时机器人在其中的M位置上(M一定是1~N中的一个)。

如果机器人来到1位置,那么下一步只能往右来到2位置;

如果机器人来到N位置,那么下一步只能往左来到N-1的位置;

如果机器人来到中间位置,那么下一步可以往左走或者往右走;

规定机器人必须走K步,最终能来到P位置(P也是1~N中的一个)的方法有多少种?

给定四个参数N,M,K,P。返回方法数

暴力递归ways1调用的walk函数,就是暴力递归过程,存在重复计算。waysCache方法对应的walkCache就是在纯暴力递归的基础上加了缓存

==假设我们的参数N=7,M=2,K=5,P=3。我们根据我们的递归加缓存的过程来填我们的dp表:==

1、int[][] dp = new int[N+1][K+1];是我们的DP表的范围

2、当rest==0的时候,dp[cur][rest] = cur == P ? 1 : 0; 我们只有cur==P的时候为1,其他位置都为0。

3、当cur==1的时候,dp[cur][rest] = walkCache(N, 2, rest - 1, P, dp); 我们的dp当前的值,依赖于cur的下一个位置,rest的上一个位置

4、当cur == N的时候,dp[cur][rest] =walkCache(N, N - 1, rest - 1, P,dp); 我们dp当前位置依赖于N-1位置,和rest - 1位置

5、当cur在任意中间位置时。dp[cur][rest] = walkCache(N, cur + 1, rest - 1, P,dp) + walkCache(N, cur - 1, rest - 1, P, dp); dp的当前位置依赖于dp的cur+1和rest-1位置加上dp的cur-1和rest-1的位置

那么我们可以得到我们的DP表为:


    0   1   2   3   4   5   K 坐标
0   x   x   x   x   x   x

1   0   0   1   0   3   0

2   0   1   0   3   0   9

3   1   0   2   0   6   0

4   0   1   0   3   0   10

5   0   0   1   0   5   0

6   0   0   0   1   0   5

7   0   0   0   0   1   0

cur
坐
标

==所以任何的动态规划,都可以由暴力递归改出来。也就是所任意的动态规划都来自于某个暴力递归。反之任何暴力递归不一定能改成动态规划,加入某暴力递归并没有重复计算,没有缓存的必要==

==动态规划实质就是把参数组合完成结构化的缓存==

package class12;

public class Code01_RobotWalk {

	public static int ways1(int N, int M, int K, int P) {
		// 参数无效直接返回0
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		// 总共N个位置,从M点出发,还剩K步可以走,返回最终能达到P的方法数
		return walk(N, M, K, P);
	}

	// N : 位置为1 ~ N,固定参数
	// cur : 当前在cur位置,可变参数
	// rest : 还剩res步没有走,可变参数
	// P : 最终目标位置是P,固定参数
	// 该函数的含义:只能在1~N这些位置上移动,当前在cur位置,走完rest步之后,停在P位置的方法数作为返回值返回
	public static int walk(int N, int cur, int rest, int P) {
		// 如果没有剩余步数了,当前的cur位置就是最后的位置
		// 如果最后的位置停在P上,那么之前做的移动是有效的
		// 如果最后的位置没在P上,那么之前做的移动是无效的
		if (rest == 0) {
			return cur == P ? 1 : 0;
		}
		// 如果还有rest步要走,而当前的cur位置在1位置上,那么当前这步只能从1走向2
		// 后续的过程就是,来到2位置上,还剩rest-1步要走
		if (cur == 1) {
			return walk(N, 2, rest - 1, P);
		}
		// 如果还有rest步要走,而当前的cur位置在N位置上,那么当前这步只能从N走向N-1
		// 后续的过程就是,来到N-1位置上,还剩rest-1步要走
		if (cur == N) {
			return walk(N, N - 1, rest - 1, P);
		}
		// 如果还有rest步要走,而当前的cur位置在中间位置上,那么当前这步可以走向左,也可以走向右
		// 走向左之后,后续的过程就是,来到cur-1位置上,还剩rest-1步要走
		// 走向右之后,后续的过程就是,来到cur+1位置上,还剩rest-1步要走
		// 走向左、走向右是截然不同的方法,所以总方法数要都算上
		return walk(N, cur + 1, rest - 1, P) + walk(N, cur - 1, rest - 1, P);
	}
	
	public static int waysCache(int N, int M, int K, int P) {
		// 参数无效直接返回0
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		
		// 我们准备一张缓存的dp表
		// 由于我们的cur范围是1~N,我们准备N+1。
		// rest范围在1~K。我们准备K+1。
		// 目的是把我们的可能结果都能装得下
		int[][] dp = new int[N+1][K+1];
		// 设置这张表的初始值都为-1,代表都还没用过
		for(int row = 0; row <= N; row++) {
			for(int col = 0; col <= K; col++) {
				dp[row][col] = -1;
			}
		}
		return walkCache(N, M, K, P,dp);
	}

	// HashMap<String, Integer>   (19,100)  "19_100"
	// 我想把所有cur和rest的组合,返回的结果,加入到缓存里
	public static int walkCache(int N, int cur, int rest, int P, int[][] dp) {
	        // 当前场景已经计算过,不要再暴力展开,直接从缓存中拿
		if(dp[cur][rest] != -1) {
			return dp[cur][rest];
		}
		if (rest == 0) {
		        // 先加缓存
			dp[cur][rest] = cur == P ? 1 : 0;
			return dp[cur][rest];
		}
		if (cur == 1) {
		        // 先加缓存
			dp[cur][rest] = walkCache(N, 2, rest - 1, P, dp);
			return dp[cur][rest];
		}
		if (cur == N) {
		        // 先加缓存
			dp[cur][rest] =walkCache(N, N - 1, rest - 1, P,dp);
			return dp[cur][rest];
		}
		// 先加缓存
		dp[cur][rest] = walkCache(N, cur + 1, rest - 1, P,dp) 
				+ walkCache(N, cur - 1, rest - 1, P, dp);
		return dp[cur][rest];
	}
	
	public static int ways2(int N, int M, int K, int P) {
		// 参数无效直接返回0
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
		dp[0][P] = 1;
		for (int i = 1; i <= K; i++) {
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				if (j == 1) {
					dp[i][j] = dp[i - 1][2];
				} else if (j == N) {
					dp[i][j] = dp[i - 1][N - 1];
				} else {
					dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j + 1];
				}
			}
		}
		return dp[K][M];
	}

	public static int ways3(int N, int M, int K, int P) {
		// 参数无效直接返回0
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		int[] dp = new int[N + 1];
		dp[P] = 1;
		for (int i = 1; i <= K; i++) {
			int leftUp = dp[1];// 左上角的值
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				int tmp = dp[j];
				if (j == 1) {
					dp[j] = dp[j + 1];
				} else if (j == N) {
					dp[j] = leftUp;
				} else {
					dp[j] = leftUp + dp[j + 1];
				}
				leftUp = tmp;
			}
		}
		return dp[M];
	}

	// ways4是你的方法
	public static int ways4(int N, int M, int K, int P) {
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		return process(N, 0, P, M, K);
	}

	// 一共N个位置,从M点出发,一共只有K步。返回走到位置j,剩余步数为i的方法数
	public static int process(int N, int i, int j, int M, int K) {
		if (i == K) {
			return j == M ? 1 : 0;
		}
		if (j == 1) {
			return process(N, i + 1, j + 1, M, K);
		}
		if (j == N) {
			return process(N, i + 1, j - 1, M, K);
		}
		return process(N, i + 1, j + 1, M, K) + process(N, i + 1, j - 1, M, K);
	}

	// ways5是你的方法的dp优化
	public static int ways5(int N, int M, int K, int P) {
		if (N < 2 || K < 1 || M < 1 || M > N || P < 1 || P > N) {
			return 0;
		}
		int[][] dp = new int[K + 1][N + 1];
		dp[K][M] = 1;
		for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				if (j == 1) {
					dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1];
				} else if (j == N) {
					dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
				} else {
					dp[i][j] = dp[i + 1][j + 1] + dp[i + 1][j - 1];
				}
			}
		}
		return dp[0][P];
	}

	public static void main(String[] args) {
		System.out.println(ways1(7, 4, 9, 5));
		System.out.println(ways2(7, 4, 9, 5));
		System.out.println(ways3(7, 4, 9, 5));
		System.out.println(ways4(7, 4, 9, 5));
		System.out.println(ways5(7, 4, 9, 5));
	}

}

1.2 例二:背包问题改动态规划

暴力递归过程各种,我们如何组织我们的决策过程。实质就是动态规划的状态转移

package class12;

public class Code03_Knapsack {

	public static int getMaxValue(int[] w, int[] v, int bag) {
	        // 主函数需要0 bag的返回值
		return process(w, v, 0, 0, bag);
	}

	// index... 最大价值
	public static int process(int[] w, int[] v, int index, int alreadyW, int bag) {
		if (alreadyW > bag) {
			return -1;
		}
		// 重量没超
		if (index == w.length) {
			return 0;
		}
		int p1 = process(w, v, index + 1, alreadyW, bag);
		int p2next = process(w, v, index + 1, alreadyW + w[index], bag);
		int p2 = -1;
		if (p2next != -1) {
			p2 = v[index] + p2next;
		}
		return Math.max(p1, p2);

	}

	public static int maxValue(int[] w, int[] v, int bag) {
		return process(w, v, 0, bag);
	}

	// 只剩下rest的空间了,
	// index...货物自由选择,但是不要超过rest的空间
	// 返回能够获得的最大价值
	public static int process(int[] w, int[] v, int index, int rest) {
		if (rest < 0) { // base case 1
			return -1;
		}
		// rest >=0
		if (index == w.length) { // base case 2
			return 0;
		}
		// 有货也有空间
		int p1 = process(w, v, index + 1, rest);
		int p2 = -1;
		int p2Next = process(w, v, index + 1, rest - w[index]);
		if(p2Next!=-1) {
			p2 = v[index] + p2Next;
		}
		return Math.max(p1, p2);
	}

        // dpWay就是把上述的暴力递归改为动态规划
	public static int dpWay(int[] w, int[] v, int bag) {
		int N = w.length;
		// 准备一张dp表,行号为我们的重量范围。列为我们的价值范围
		int[][] dp = new int[N + 1][bag + 1];
		// 由于暴力递归中index==w.length的时候,总是返回0。所以:
		// dp[N][...] = 0。整形数组初始化为0,无需处理
		// 由于N行已经初始化为0,我们从N-1开始。填我们的dp表
		for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {
		        // 剩余空间从0开始,一直填写到bag
			for (int rest = 0; rest <= bag; rest++) { // rest < 0
			
			    // 通过正常位置的递归处理
			    // 我们转而填写dp表格,注释位置是正常递归处理
			    
		//	    int p1 = process(w, v, index + 1, rest);
		//        int p2 = -1;
		//        int p2Next = process(w, v, index + 1, rest - w[index]);
		//        if(p2Next!=-1) {
		//	        p2 = v[index] + p2Next;
		//        }
		//        return Math.max(p1, p2);
			    
			        // 所以我们p1等于dp表的下一层向上一层返回
				int p1 = dp[index+1][rest];
				int p2 = -1;
				// rest - w[index] 不越界
				if(rest - w[index] >= 0) {
					p2 = v[index] + dp[index + 1][rest - w[index]];
				}
				// p1和p2取最大值
				dp[index][rest] = Math.max(p1, p2);
				
			}
		}
		// 最终返回dp表的0,bag位置,就是我们暴力递归的主函数调用
		return dp[0][bag];
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] weights = { 3, 2, 4, 7 };
		int[] values = { 5, 6, 3, 19 };
		int bag = 11;
		System.out.println(maxValue(weights, values, bag));
		System.out.println(dpWay(weights, values, bag));
	}

}

1.3 动态规划解题思路

1、拿到题目先找到某一个暴力递归的写法(尝试)

2、分析我们的暴力递归,是否存在重复解。没有重复解的递归没必要改动态规划

3、把暴力递归中的可变参数,做成缓存结构,不讲究组织。即没算过加入缓存结构,算过的直接拿缓存,就是记忆化搜索

4、如果把缓存结构做精细化组织,就是我们经典的动态规划

5、以背包问题举例,我们每一个重量有要和不要两个选择,且都要递归展开。那么我们的递归时间复杂度尾O(2^N)。而记忆化搜索,根据可变参数得到的长为N价值为W的二维表,那么我们的时间复杂度为O(N*bag)。如果递归过程中状态转移有化简继续优化的可能,例如枚举。那么经典动态规划可以继续优化,否则记忆化搜索和动态规划的时间复杂度是一样的

1.3.1 凑货币问题(重要)

该题是对动态规划完整优化路径的演示

有一个表示货币面值的数组arr,每种面值的货币可以使用任意多张。arr数组元素为正数,且无重复值。例如[7,3,100,50]这是四种面值的货币。

问:给定一个特定金额Sum,我们用货币面值数组有多少种方法,可以凑出该面值。例如P=1000,用这是四种面值有多少种可能凑出1000

ways1为暴力递归的解题思路及实现

ways2为暴力递归改记忆化搜索的版本

ways3为记忆化搜索版本改动态规划的版本

package class12;

public class Code09_CoinsWay {

	// arr中都是正数且无重复值,返回组成aim的方法数,暴力递归
	public static int ways1(int[] arr, int aim) {
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
			return 0;
		}
		return process1(arr, 0, aim);
	}

	public static int process1(int[] arr, int index, int rest) {
	        // base case
	        // 当在面值数组的arr.length,此时越界,没有货币可以选择。
	        // 如果当前目标金额就是0,那么存在一种方法,如果目标金额不为0,返回0中方法
		if(index == arr.length) {
			return rest == 0 ? 1 : 0 ;	
		}
		
		// 普遍位置
		int ways = 0;
		// 从0号位置开始枚举,选择0张,1张,2张等
		// 条件是张数乘以选择的面值,不超过木匾面值rest
		for(int zhang = 0;  zhang * arr[index] <= rest ;zhang++) {
		        // 方法数加上除去当前选择后所剩面额到下一位置的选择数,递归
			ways += process1(arr, index + 1, rest -  (zhang * arr[index])  );
		}
		return ways;
	}


        // ways1暴力递归,改为记忆化搜索。ways2为记忆化搜索版本
	public static int ways2(int[] arr, int aim) {
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
			return 0;
		}
		// 缓存结构,且只和index和rest有关,跟arr无关
		int[][] dp = new int[arr.length+1][aim+1];
		// 一开始所有的过程,都没有计算呢,dp二维表初始化为-1
		// dp[..][..]  = -1
		for(int i = 0 ; i < dp.length; i++) {
			for(int j = 0 ; j < dp[0].length; j++) {
				dp[i][j] = -1;
			}
		}
		// 缓存结构向下传递
		return process2(arr, 0, aim , dp);
	}
	
	// 如果index和rest的参数组合,是没算过的,dp[index][rest] == -1
	// 如果index和rest的参数组合,是算过的,dp[index][rest]  > - 1
	public static int process2(int[] arr, 
			int index, int rest,
			int[][] dp) {
		if(dp[index][rest] != -1) {
			return dp[index][rest];
		}
		if(index == arr.length) {
			dp[index][rest] = rest == 0 ? 1 :0;
			return  dp[index][rest];	
		}
		int ways = 0;
		for(int zhang = 0;  zhang * arr[index] <= rest ;zhang++) {
		        // 返回之前加入缓存
			ways += process2(arr, index + 1, rest -  (zhang * arr[index]) , dp );
		}
		// 返回之前加入缓存
		dp[index][rest] = ways;
		return ways;
	}
	
	// 记忆化搜索改造为动态规划版本,ways3。
	// 如果没有枚举行为,该动态该规划为自顶向下的动态规划和记忆化搜索等效,但这题存在枚举行为。
	public static int ways3(int[] arr, int aim) {
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
			return 0;
		}
		int N = arr.length;
		// dp表
		int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
		// 根据递归方法,N为arr的越界位置,但是我们的dp表定义的是N+1。
		// N位置,如果aim为0,则dp[N][0] = 1;
		dp[N][0] = 1;// dp[N][1...aim] = 0;
		
		// 每个位置依赖自己下面的位置,那么我们从下往上循环
		for(int index = N - 1; index >= 0; index--) {
		        // rest从左往右
			for(int rest = 0; rest <= aim; rest++) {
				int ways = 0;
				for(int zhang = 0;  zhang * arr[index] <= rest ;zhang++) {
					ways += dp[index + 1] [rest -  (zhang * arr[index])];
				}
				dp[index][rest] = ways;
			}
		}
		// 最终我们需要[0,aim]位置的解
		return dp[0][aim];
	}
	
	// 由于存在枚举行为,我们可以进一步优化我们的动态规划。ways4是优化的动态规划
	// 根据枚举,用具体化例子来找出规律,省掉枚举
	public static int ways4(int[] arr, int aim) {
		if (arr == null || arr.length == 0 || aim < 0) {
			return 0;
		}
		int N = arr.length;
		int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
		dp[N][0] = 1;// dp[N][1...aim] = 0;
		for(int index = N - 1; index >= 0; index--) {
			for(int rest = 0; rest <= aim; rest++) {
				dp[index][rest] = dp[index+1][rest];
				if(rest - arr[index] >= 0) {
					dp[index][rest] += dp[index][rest - arr[index]];
				}
			}
		}
		return dp[0][aim];
	}
	

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = { 5, 10,50,100 };
		int sum = 1000;
		System.out.println(ways1(arr, sum));
		System.out.println(ways2(arr, sum));
		System.out.println(ways3(arr, sum));
		System.out.println(ways4(arr, sum));
	}

}

1.3.2 贴纸问题

给定一个字符串str,给定一个字符串类型的数组arr。arr里的每一个字符串,代表一张贴纸,你可以把单个字符剪开使用,目的是拼出str来。

返回需要至少多少张贴纸可以完成这个任务。

例如:str=”babac”,arr={“ba”,”c”,”abcd”}

至少需要两张贴纸”ba”和”abcd”,因为使用这两张贴纸,把每一个字符串单独剪开,含有2个a,2个b,1个c。是可以拼出str的,所以返回2。

思路1 minStickers1:由于任何贴纸都可以剪切的很碎,跟贴纸的顺序没关系。那么目标str我们先进行排序,那么也不会有影响。babac排序为aabbc,我们再去选择贴纸,str被贴纸贴好后,剩下的接着排序,再选择……

由于我们的可变参数,只有一个目标字符串。但是目标字符串的可能性太多,没办法精细化动态规划。傻缓存的暴力递归已经是最优解了。所以只有一个可变参数,又存在重复解,那么傻缓存就是最优解。

思路2 minStickers2,我们每一张贴纸枚举所有可能的张数,后续过程不再考虑这张贴纸。但是方法一会好一点,因为只有一个可变参数。而方法二有两个可变参数,我们在设计递归的时候,尽量少的使用可变参数,这样我们缓存结构的命中率会提升

package class12;

import java.util.Arrays;
import java.util.HashMap;

public class Code02_StickersToSpellWord {

        // 暴力递归加缓存dp
	public static int minStickers1(String[] stickers, String target) {
		
		int n = stickers.length;
		// stickers -> [26] [26] [26]
		// 表示把每张贴纸转化为26个字母的词频数组
		int[][] map = new int[n][26];
		// 把每一张贴纸转化的字母26个字母有多少个
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			char[] str = stickers[i].toCharArray();
			for (char c : str) {
				map[i][c - 'a']++;
			}
		}
		
		HashMap<String, Integer> dp = new HashMap<>();
		dp.put("", 0);
		return process1(dp, map, target);
	}

	// dp 傻缓存,如果rest已经算过了,直接返回dp中的值
	// rest 剩余的目标
	// 0..N每一个字符串所含字符的词频统计
	// 返回值是-1,map 中的贴纸  怎么都无法rest
	public static int process1(
			HashMap<String, Integer> dp,
			int[][] map, 
			String rest) {
		if (dp.containsKey(rest)) {
			return dp.get(rest);
		}
		// 以下就是正式的递归调用过程
		int ans = Integer.MAX_VALUE; // ans -> 搞定rest,使用的最少的贴纸数量 
		int n = map.length; // N种贴纸
		int[] tmap = new int[26]; // tmap 去替代 rest
		// 把目标target剩余的rest进行词频统计
		char[] target = rest.toCharArray();
		for (char c : target) {
			tmap[c - 'a']++;
		}
		
		// map表示所有贴纸的词频信息,tmap表示目标字符串的词频信息
		// 用map去覆盖tmap
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			// 枚举当前第一张贴纸是谁?
			// 第一张贴纸必须包含当前目标字符串的首字母。和所有贴纸去选等效
			// 目的是让当前贴纸的元素有在目标字符串的对应个,否则试过之后仍然是原始串,栈会溢出
			if (map[i][target[0] - 'a'] == 0) {
				continue;
			}
			StringBuilder sb = new StringBuilder();
			// i 贴纸, j 枚举a~z字符
			for (int j = 0; j < 26; j++) { // 
				if (tmap[j] > 0) { // j这个字符是target需要的
					for (int k = 0; k < Math.max(0, tmap[j] - map[i][j]); k++) {
					    // 添加剩余
						sb.append((char) ('a' + j));
					}
				}
			}
			// sb ->  i 此时s就是当前贴纸搞定之后剩余的
			String s = sb.toString();
			// tmp是后续方案需要的贴纸数
			int tmp = process1(dp, map, s);
			// 如果-1表示贴纸怎么都无法覆盖目标字符串
			if (tmp != -1) {
			        // 不是-1,最终返回当前后续贴纸数,加上当前贴纸数与ans的最小值
				ans = Math.min(ans, 1 + tmp);
			}
		}
		// 经过上述循环,ans仍然系统最大,表示怎么都无法覆盖rest,返回-1
		dp.put(rest, ans == Integer.MAX_VALUE ? -1 : ans);
		return dp.get(rest);
	}


    
	public static int minStickers2(String[] stickers, String target) {
		int n = stickers.length;
		int[][] map = new int[n][26];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			char[] str = stickers[i].toCharArray();
			for (char c : str) {
				map[i][c - 'a']++;
			}
		}
		char[] str = target.toCharArray();
		int[] tmap = new int[26];
		for (char c : str) {
			tmap[c - 'a']++;
		}
		HashMap<String, Integer> dp = new HashMap<>();
		int ans = process2(map, 0, tmap, dp);
		return ans;
	}

	public static int process2(int[][] map, int i, int[] tmap, HashMap<String, Integer> dp) {
		StringBuilder keyBuilder = new StringBuilder();
		keyBuilder.append(i + "_");
		for (int asc = 0; asc < 26; asc++) {
			if (tmap[asc] != 0) {
				keyBuilder.append((char) (asc + 'a') + "_" + tmap[asc] + "_");
			}
		}
		String key = keyBuilder.toString();
		if (dp.containsKey(key)) {
			return dp.get(key);
		}
		boolean finish = true;
		for (int asc = 0; asc < 26; asc++) {
			if (tmap[asc] != 0) {
				finish = false;
				break;
			}
		}
		if (finish) {
			dp.put(key, 0);
			return 0;
		}
		if (i == map.length) {
			dp.put(key, -1);
			return -1;
		}
		int maxZhang = 0;
		for (int asc = 0; asc < 26; asc++) {
			if (map[i][asc] != 0 && tmap[asc] != 0) {
				maxZhang = Math.max(maxZhang, (tmap[asc] / map[i][asc]) + (tmap[asc] % map[i][asc] == 0 ? 0 : 1));
			}
		}
		int[] backup = Arrays.copyOf(tmap, tmap.length);
		int min = Integer.MAX_VALUE;
		int next = process2(map, i + 1, tmap, dp);
		tmap = Arrays.copyOf(backup, backup.length);
		if (next != -1) {
			min = next;
		}
		for (int zhang = 1; zhang <= maxZhang; zhang++) {
			for (int asc = 0; asc < 26; asc++) {
				tmap[asc] = Math.max(0, tmap[asc] - (map[i][asc] * zhang));
			}
			next = process2(map, i + 1, tmap, dp);
			tmap = Arrays.copyOf(backup, backup.length);
			if (next != -1) {
				min = Math.min(min, zhang + next);
			}
		}
		int ans = min == Integer.MAX_VALUE ? -1 : min;
		dp.put(key, ans);
		return ans;
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		String[] arr = {"aaaa","bbaa","ccddd"};
		String str = "abcccccdddddbbbaaaaa";
		System.out.println(minStickers1(arr, str));
		System.out.println(minStickers2(arr, str));
		
		
	}

}

1.4 什么暴力递归可以继续优化?

1、有重复调用同一个子问题的解,这种递归可以优化

2、如果每一个子问题都是不同的解,无法优化也不用优化

1.5 暴力地柜和动态规划的关系

1、某个暴力递归,有解的重复调用,就可以把这个暴力递归优化成动态规划

2、任何动态规划问题,都一定对应着某一个有解的重复调用的暴力递归

3、不是所有的暴力递归,都一定对应着动态规划

1.6 面试题中和动态规划的关系

1、解决一个问题,可能有很多尝试方法

2、可能在很多尝试方法中,又有若干个尝试方法有动态规划的方式

3、一个问题,可能有若干种动态规划的解法

1.7 如何找到某个问题的动态规划方式?

1、设计暴力递归:重要原则+4中常见尝试模型!重点

2、分析有没有重复解:套路解决

3、用记忆化搜索 -> 用严格表结构实现动态规划:套路解决

4、看看能否继续优化:套路解决

1.8 面试中设计暴力递归过程的原则

==怎么猜是不对的?==

1、每一个可变参数,一定不要比int类型更加复杂

比如可变参数是int a和int b 那么我们的缓存结构可以是a*b的二维数组。大小取决于a和b的范围

但是如果我们的可变参数是一个数组,int[] a。那么如果过多,我们不太容易设计那么大的缓存结构。如果只有一个这种可变参数就是原则2

==不管什么问题,我们在脑海中想象可变参数就不会突破整形范围==

2、原则1可以违反,让类型突破到一维线性结构,那必须是唯一可变参数。例如上述贴纸问题

3、如果发现原则1被违反,但没违反原则2。只需要做到记忆化搜索就是最优解

3、可变参数个数,能少则少

1.9 笔试面试过程中怎么设计暴力递归?

1、一定逼自己找到不违反1.8原则情况下的暴力尝试!

2、如果你找到暴力尝试,不符合原则,马上舍弃,找新的!

3、如果某个题目突破了设计原则,一定极难极难,面试中出现的概率低于5%

1.10 常见的4种尝试模型

每一个模型背后都有很多题目

1.10.1 从左往右的尝试模型

例如背包问题

1.10.2 范围上的尝试模型

例如纸牌博弈问题

1.10.3 多样本位置全对应的尝试模型

1.10.3.1 两个字符串的最长公共子序列问题

例如“ab1cd2ef345gh”和“opq123rs4tx5yz”的最长公共子序列为“12345”。即在两个字符串所有相等的子序列里最长的。所以返回子序列的长度5

假如”a123bc”和”12dea3fz”两个字符串,我们把这两个样本的下标一个作为行,一个作为列。观察这样的结构所表示的意义。dp表这样设计就是str1从0到i位置,str2从0到j位置,两个位置的最长公共子序列。

dp[i][j] 表示的含义是,str1字符串在i位置, str2在j位置,两个最长公共子序列多长。 那么str1和str2的最长公共子序列,就是dp[str1.length][str2.length]

对于任何位置dp[i][j]:

  1. 如果str1的i位置和str2的j位置的最长公共子序列跟str1的i位置字符和str2的j位置字符无关,那么此时的最长公共子序列长度就是dp[i-1][j-1]
  1. 此时与str1的i位置结尾的字符有关系,和str2的j位置结尾的字符没关系。此时跟str2的j位置没关系,最长公共子序列式dp[i][j-1]
  1. 此时与str1的i位置结尾的字符没关系,和str2的j位置结尾的字符有关系。此时跟str1的j位置没关系,最长公共子序列式dp[i-1][j]
  1. 此时即与str1的i字符结尾,有关系。又与str2的j位置结尾,有关系。只有str1[i]==str2[j]才有可能存在这种情况,且为dp[i-1][j-1] + 1

    0    1    2    3    4    5    6    7   str2
0   0    0    0    0    1    1    1    1

1   0

2   1

3   1

4   1

5   1

str1

package class12;

public class Code05_PalindromeSubsequence {

	public static int lcse(char[] str1, char[] str2) {
		
		int[][] dp = new int[str1.length][str2.length];
		
		dp[0][0] = str1[0] == str2[0] ? 1 : 0;
		
		
		// 填第0列的所有值
		// 一旦st1r的i位置某个字符等于str2的0位置,那么之后都是1
		for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
			dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], str1[i] == str2[0] ? 1 : 0);
		}
		// 填第0行的所有值
		// 一旦str2的j位置某个字符等于str1的0位置,那么之后都是1
		for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
			dp[0][j] = Math.max(dp[0][j - 1], str1[0] == str2[j] ? 1 : 0);
		}
		
		for (int i = 1; i < str1.length; i++) {
			for (int j = 1; j < str2.length; j++) {
			
			        // dp[i - 1][j]表示可能性2
			        // dp[i][j - 1] 表示可能性3
				dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
				if (str1[i] == str2[j]) {
					dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - 1] + 1);
				} 
			}
		}
		return dp[str1.length - 1][str2.length - 1];
	}

	public static void main(String[] args) {

	}

}

1.10.4 寻找业务限制的尝试模型

四种模型中最难的一种,暂时只看process方法,process更改为动态规划的dp方法。后面会展开说明其他方法,

例题:给定一个数组,代表每个人喝完咖啡准备刷杯子的时间,只有一台咖啡机,一次只能洗一个杯子,时间耗费a,洗完才能洗下一杯。每个咖啡杯也可以自己挥发干净,时间耗费b,咖啡杯可以并行挥发。返回让所有咖啡杯变干净的最早完成时间。三个参数:int[]arr , int a , int b(京东)

package class12;

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;

// 题目
// 数组arr代表每一个咖啡机冲一杯咖啡的时间,每个咖啡机只能串行的制造咖啡。
// 现在有n个人需要喝咖啡,只能用咖啡机来制造咖啡。
// 认为每个人喝咖啡的时间非常短,冲好的时间即是喝完的时间。
// 每个人喝完之后咖啡杯可以选择洗或者自然挥发干净,只有一台洗咖啡杯的机器,只能串行的洗咖啡杯。
// 洗杯子的机器洗完一个杯子时间为a,任何一个杯子自然挥发干净的时间为b。
// 四个参数:arr, n, a, b
// 假设时间点从0开始,返回所有人喝完咖啡并洗完咖啡杯的全部过程结束后,至少来到什么时间点。
public class Code06_Coffee {

	// 方法一:暴力尝试方法
	public static int minTime1(int[] arr, int n, int a, int b) {
		int[] times = new int[arr.length];
		int[] drink = new int[n];
		return forceMake(arr, times, 0, drink, n, a, b);
	}

	// 方法一,每个人暴力尝试用每一个咖啡机给自己做咖啡
	public static int forceMake(int[] arr, int[] times, int kth, int[] drink, int n, int a, int b) {
		if (kth == n) {
			int[] drinkSorted = Arrays.copyOf(drink, kth);
			Arrays.sort(drinkSorted);
			return forceWash(drinkSorted, a, b, 0, 0, 0);
		}
		int time = Integer.MAX_VALUE;
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			int work = arr[i];
			int pre = times[i];
			drink[kth] = pre + work;
			times[i] = pre + work;
			time = Math.min(time, forceMake(arr, times, kth + 1, drink, n, a, b));
			drink[kth] = 0;
			times[i] = pre;
		}
		return time;
	}

	// 方法一,暴力尝试洗咖啡杯的方式
	public static int forceWash(int[] drinks, int a, int b, int index, int washLine, int time) {
		if (index == drinks.length) {
			return time;
		}
		// 选择一:当前index号咖啡杯,选择用洗咖啡机刷干净
		int wash = Math.max(drinks[index], washLine) + a;
		int ans1 = forceWash(drinks, a, b, index + 1, wash, Math.max(wash, time));

		// 选择二:当前index号咖啡杯,选择自然挥发
		int dry = drinks[index] + b;
		int ans2 = forceWash(drinks, a, b, index + 1, washLine, Math.max(dry, time));
		return Math.min(ans1, ans2);
	}

	// 方法二:稍微好一点的解法
	public static class Machine {
		public int timePoint;
		public int workTime;

		public Machine(int t, int w) {
			timePoint = t;
			workTime = w;
		}
	}

	public static class MachineComparator implements Comparator<Machine> {

		@Override
		public int compare(Machine o1, Machine o2) {
			return (o1.timePoint + o1.workTime) - (o2.timePoint + o2.workTime);
		}

	}

	// 方法二,每个人暴力尝试用每一个咖啡机给自己做咖啡,优化成贪心
	public static int minTime2(int[] arr, int n, int a, int b) {
		PriorityQueue<Machine> heap = new PriorityQueue<Machine>(new MachineComparator());
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			heap.add(new Machine(0, arr[i]));
		}
		int[] drinks = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			Machine cur = heap.poll();
			cur.timePoint += cur.workTime;
			drinks[i] = cur.timePoint;
			heap.add(cur);
		}
		return process(drinks, a, b, 0, 0);
	}

	// 方法二,洗咖啡杯的方式和原来一样,只是这个暴力版本减少了一个可变参数

	// process(drinks, 3, 10, 0,0)
	// a 洗一杯的时间 固定变量
	// b 自己挥发干净的时间 固定变量
	// drinks 每一个员工喝完的时间 固定变量
	// drinks[0..index-1]都已经干净了,不用你操心了
	// drinks[index...]都想变干净,这是我操心的,washLine表示洗的机器何时可用
	// drinks[index...]变干净,最少的时间点返回
	public static int process(int[] drinks, int a, int b, int index, int washLine) {
		if (index == drinks.length - 1) {
			return Math.min(Math.max(washLine, drinks[index]) + a, drinks[index] + b);
		}
		// 剩不止一杯咖啡
		// wash是我当前的咖啡杯,洗完的时间
		int wash = Math.max(washLine, drinks[index]) + a;// 洗,index一杯,结束的时间点
		// index+1...变干净的最早时间
		int next1 = process(drinks, a, b, index + 1, wash);
		// index....
		int p1 = Math.max(wash, next1);
		int dry = drinks[index] + b; // 挥发,index一杯,结束的时间点
		int next2 = process(drinks, a, b, index + 1, washLine);
		int p2 = Math.max(dry, next2);
		return Math.min(p1, p2);
	}

	public static int dp(int[] drinks, int a, int b) {
		if (a >= b) {
			return drinks[drinks.length - 1] + b;
		}
		// a < b
		int N = drinks.length;
		int limit = 0; // 咖啡机什么时候可用
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			limit = Math.max(limit, drinks[i]) + a;
		}
		int[][] dp = new int[N][limit + 1];
		// N-1行,所有的值
		for (int washLine = 0; washLine <= limit; washLine++) {
			dp[N - 1][washLine] = Math.min(Math.max(washLine, drinks[N - 1]) + a, drinks[N - 1] + b);
		}
		for (int index = N - 2; index >= 0; index--) {
			for (int washLine = 0; washLine <= limit; washLine++) {
				int p1 = Integer.MAX_VALUE;
				int wash = Math.max(washLine, drinks[index]) + a;
				if (wash <= limit) {
					p1 = Math.max(wash, dp[index + 1][wash]);
				}
				int p2 = Math.max(drinks[index] + b, dp[index + 1][washLine]);
				dp[index][washLine] = Math.min(p1, p2);
			}
		}
		return dp[0][0];
	}

	// 方法三:最终版本,把方法二洗咖啡杯的暴力尝试进一步优化成动态规划
	public static int minTime3(int[] arr, int n, int a, int b) {
		PriorityQueue<Machine> heap = new PriorityQueue<Machine>(new MachineComparator());
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			heap.add(new Machine(0, arr[i]));
		}
		int[] drinks = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			Machine cur = heap.poll();
			cur.timePoint += cur.workTime;
			drinks[i] = cur.timePoint;
			heap.add(cur);
		}
		if (a >= b) {
			return drinks[n - 1] + b;
		}
		int[][] dp = new int[n][drinks[n - 1] + n * a];
		for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) {
			dp[n - 1][i] = Math.min(Math.max(i, drinks[n - 1]) + a, drinks[n - 1] + b);
		}
		for (int row = n - 2; row >= 0; row--) { // row 咖啡杯的编号
			int washLine = drinks[row] + (row + 1) * a;
			for (int col = 0; col < washLine; col++) {
				int wash = Math.max(col, drinks[row]) + a;
				dp[row][col] = Math.min(Math.max(wash, dp[row + 1][wash]), Math.max(drinks[row] + b, dp[row + 1][col]));
			}
		}
		return dp[0][0];
	}

	// for test
	public static int[] randomArray(int len, int max) {
		int[] arr = new int[len];
		for (int i = 0; i < len; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * max) + 1;
		}
		return arr;
	}

	// for test
	public static void printArray(int[] arr) {
		System.out.print("arr : ");
		for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
			System.out.print(arr[j] + ", ");
		}
		System.out.println();
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[] test = { 1, 1, 5, 5, 7, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 15 };
		int a1 = 3;
		int b1 = 10;
		System.out.println(process(test, a1, b1, 0, 0));
		System.out.println(dp(test, a1, b1));

		int len = 5;
		int max = 9;
		int testTime = 50000;
		for (int i = 0; i < testTime; i++) {
			int[] arr = randomArray(len, max);
			int n = (int) (Math.random() * 5) + 1;
			int a = (int) (Math.random() * 5) + 1;
			int b = (int) (Math.random() * 10) + 1;
			int ans1 = minTime1(arr, n, a, b);
			int ans2 = minTime2(arr, n, a, b);
			int ans3 = minTime3(arr, n, a, b);
			if (ans1 != ans2 || ans2 != ans3) {
				printArray(arr);
				System.out.println("n : " + n);
				System.out.println("a : " + a);
				System.out.println("b : " + b);
				System.out.println(ans1 + " , " + ans2 + " , " + ans3);
				System.out.println("===============");
				break;
			}
		}

	}

}

1.11 如何分析有没有重复解

1、列出调用过程,可以只列出前几层

2、有没有重复解,一看便知

1.12 暴力递归到动态规划的套路

1、你已经有了一个不违反原则的暴力递归,而且的确存在重复调用

2、找到哪些参数的变化会影响返回值,对每一个列出变化范围

3、参数间的所有组合数量,意味着缓存表(DP)大小

4、记忆化搜索的方法就是傻缓存,非常容易得到

5、规定好严格的表大小,分析位置的依赖顺序,然后从基础填写到最终解

6、对于有枚举行为的决策过程,进一步优化

1.13 动态规划的进一步优化

主要就是用来优化动态规划的单个位置的枚举行为

1、空间压缩

2、状态化简

3、四边形不等式

4、其他优化技巧